Timošenkův model koleje

Statický model popisující chování kolejového roštu při zatížení kolovou silou

Autor , 04. dubna, Teorie

Napadlo vás někdy, jakým způsobem je možné z tepla kanceláře určit teoretický průhyb zatížené konstrukce kolejové jízdní dráhy? Nebo moment, který ji namáhá? V tomto článku si ukážeme, jak se znalostí stavební mechaniky naleznete na tyto otázky odpověď.

Konvenční železniční trať sestává ze dvou rovnoběžných pasů (kolejnice), které jsou v pravidelných rozestupech uchyceny na pražce. Celý takto vzniklý kolejový rošt je zespodu podporován kolejovým ložem. Pro účely analytického modelování konstrukce železniční tratě je kolejový rošt zjednodušeně popisován modely různých konfigurací.

Jedním takovým modelem může být Timošenkův model (známý též jako Zimmermannův), který konstrukci tratě zjednodušuje na nekonečně dlouhý nosník ležící na pružném podkladu. Napětí pružného poloprostoru v každém bodě je dle Winklerovy hypotézy z roku 1867 přímo úměrné deformaci v tomtéž bodě. Důsledkem je nespolupůsobení sousedních bodů, viz obrázek 1. Tato hypotéza nejlépe odráží chování nesoudržných zemin.

Obrázek 1 – Winklerův model podloží

Nyní se budeme zabývat fyzikální podstatou problému. Jedná se o model statický, tudíž v něm čas nehraje žádnou roli (dynamickým případem se zabýváme v tomto článku). Představme si tedy stojící nápravu železničního vozidla, která zatěžuje v bodě x kolejový rošt silou Q. Síla Q vyvolává v soustavě průhyb w, jehož hodnota je závislá na souřadnici x, tedy w(x). Velikost průhybu je také závislá (nepřímo úměrně) na odporu konstrukce, tedy jejích parametrech EIk. Vnější vztahy modelu jsou znázorněny na Obrázku 2.

Obrázek 2 – Vnější vztahy Timošenkova modelu

Kde

K tomu, abychom mohli model analyticky řešit, musíme nejprve sestavit jeho diferenciální rovnici. Obrázek 3 popisuje infinitezimální (nekonečně malý) element nosníku na pružném podkladu.

Obrázek 3 – Schéma elementu Timošenkova modelu

Diferenciální rovnice vychází z podmínky rovnováhy ve svislém směru:

D-(D+dD)+kwdx-qdx=0,\; \; \; \; \; \;(1)
odkud
\frac{dD}{dx}=kw-q.\; \; \; \; \; \;(2)

Dosazením vztahu D=dM/dx do rovnice (2) získáme:

\frac{dD}{dx}=\frac{d^{2}M}{dx^{2}}=kw-q.\; \; \; \; \; \;(3)

Dvojitou derivací základní diferenciální rovnice EI(d^{2}w/dx^{2})=-M pro ohybem namáhaný prvek získáme:

EI\frac{d^{4}w}{dx^{4}}=-\frac{d^{2}M}{dx^{2}}.\; \; \; \; \; \;(4)

Dosazením rovnice (3) do rovnice (4) získáme:

EI\frac{d^{4}w}{dx^{4}}=-kw+q.\; \; \; \; \; \; (5)

Rovnice (5) je diferenciální rovnicí pro ohybovou křivku nosníku na pružném podkladu. Jak již bylo zmíněno, jako zatížení modelu bude použito bodové břemeno (kolo nápravy). Pro zjednodušení řešení rovnice zavedeme q = 0. Vliv zatížení bude do rovnice vnesen v podobě okrajových podmínek. Aplikací výše uvedeného získáme rovnici:

EI\frac{d^{4}w}{dx^{4}}+kw(x)=0.\; \; \; \; \; \; (6)

Substitucí w=e^{\gamma x} do rovnice (6) získáme charakteristickou rovnici:

EI\gamma^{4}+k=0.\; \; \; \; \; \; (7)

Rovnici (7) upravíme na tvar:

\gamma^{4}+4\lambda^{4}=0,\; \; \; \; \; \; (8)
kde
\lambda^{4}=\frac{k}{4EI}.\; \; \; \; \; \; (9)

Dále řešíme rovnici (8), jejíž kořeny jsou:

\gamma_1=\lambda+i\lambda,\; \gamma_2=\lambda-i\lambda,
\gamma_3=-\lambda+i\lambda,\;\gamma_4=-\lambda-i\lambda.\; \; \; \; \; \; (10)

Obecné řešení diferenciální rovnice můžeme zapsat takto:

w(x)=A_{1}e^{\gamma{1}x}+A_{2}e^{\gamma{2}x}+A_{3}e^{\gamma{3}x}+A_{4}e^{\gamma{4}x}.\; \; \; \; \; \; (11)

Dosazením kořenů (10) do rovnice (11) získáváme tvar:

w(x)=e^{\lambda x}\left [ B_{1}cos(\lambda x)+B_{2}sin(\lambda x) \right ]+e^{-\lambda x}\left [ B_{3}cos(\lambda x)+B_{4}sin(\lambda x) \right ].\; \; \; \; \; \; (12)

Nyní nastává okamžik pro zavedení okrajových podmínek. Lze uvažovat, že průhyb způsobený kolovou silou se bude s rostoucí vzdáleností od kola snižovat, až úplně vymizí, tzn. bude roven 0. Proto zavedeme okrajovou podmínku w(\infty)=0. Také lze předpokládat, že průhyb způsobený kolovou silou bude na obě strany nabývat stejných hodnot, a proto bude směrnice tečny k průhybové křivce přímo pod kolem rovna 0. Zavedeme tedy podmínku w'(0)=0.  Třetí okrajovou podmínkou bude rovnice w'''(0)=Q/(2EI), která vychází z rovnováhy posouvajících sil v bodě 0. Podmínku získáme derivací základní diferenciální rovnice druhého řádu pro ohybový moment.

Aplikace první okrajové podmínky do rovnice (12) bude vypadat následovně:

w(\infty)=e^{\lambda x}\left [B_{1}cos(\lambda x)+B_{2}sin(\lambda x) \right]+e^{-\lambda x}\left [B_{3}cos(\lambda x)+B_{4}sin(\lambda x) \right]=0

Jediný způsob, jak této podmínce dostát, je položit integrační konstanty B1B2 rovny 0, tudíž:

B_{1}=B_{2}=0

Pro získání rovnice pro druhou okrajovou podmínku, musíme  rovnici (12) zderivovat. Dále dosadíme x=0. Získáme:

w'(0)=B_{1}\lambda+B_{2}\lambda-B_{3}\lambda+B_{4}\lambda=0\Rightarrow B_{3}=B_{4}.

Trojitou derivací rovnice (12) a dosazením třetí okrajové podmínky, získáváme:

w'''(0)=-2B_{1}\lambda^{3}+2B_{2}\lambda^{3}+2B_{3}\lambda^{3}+2B_{4}\lambda^{3}=\frac{Q}{2EI}\Rightarrow B_{3}=\frac{Q}{2EI\lambda^{3}}=B_{4}.

Dosazením integračních konstant do rovnice (12) získáme rovnici:

w(x)=\frac{Q}{8EI\lambda^{3}}e^{-\lambda x}\left [ cos(\lambda x)+sin(\lambda x) \right ],\; \; \; \; \; \; (13)
kde
\lambda=\frac{1}{L}\Rightarrow L=\sqrt[4]{\frac{4EI}{k}}.\; \; \; \; \; \; (14)

Veličina L [m] je charakteristická délka kolejového roštu. Zjednodušeně by se dalo říci, že je to veličina, která zohledňuje nespojitost podepření kolejnice. Průhyb nosníku v bodě x můžeme vyjádřit takto:

w(x)=\frac{QL^{3}}{8EI}e^{-\frac{x}{L}}\left [ cos(\frac{x}{L})+sin(\frac{x}{L}) \right ],\; \; \; \; \; \; (15)
kde
e^{-\frac{x}{L}}\left [ cos(\frac{x}{L})+sin(\frac{x}{L}) \right ]=\eta (x).\; \; \; \; \; \; (16)

Jednoduchou úpravou rovnice (15) získáváme rovnici:

w(x)=\frac{QL^{3}}{8EI}\eta(x).\; \; \; \; \; \; (17)

Dvojitou derivací rovnice (17) získáme rovnici pro ohybový moment v bodě x ve tvaru:

M(x)=\frac{QL}{4}\mu (x),\; \; \; \; \; \; (18)
kde
\mu (x)=e^{-\frac{x}{L}}\left [ cos(\frac{x}{L})-sin(\frac{x}{L}) \right ].\; \; \; \; \; \; (19)

Funkce \eta\mu vyjadřují tvary průhybové a momentové křivky pro x \geq 0. Levá část grafu (x<0) vychází z předpokladu symetričnosti úlohy. Grafické interpretace křivek \eta a \mu je zobrazena na obrázku 4.

Obrázek 4 – Relativní posunutí a relativní moment pro 1 nápravu

Aplikací principu superpozice lze získat průhybovou a momentovou křivku pro dvě a více náprav. Průhybová a momentová křivka pro dvě nápravy s rozvorem 2,6 m je zobrazena na obrázku 5.

Obrázek 5 – Relativní posunutí a relativní moment pro 2 nápravy

Jednoduchý skript pro výpočet a vykreslení relativních průhybů a relativních momentů může vypadat v prostředí Matlab takto:

 

x = linspace(-5, 5, 5000); % vytvoreni osy x
L = 0.8; % charakteristicka delka
% vypocet relativniho pruhybu
w = exp(-abs(x)/L).*(cos(abs(x)/L)+sin(abs(x)/L));
% vypocet relativniho momentu
m = exp(-abs(x)/L).*(cos(abs(x)/L)-sin(abs(x)/L));

% vykresleni dat
figure('position', [0, 0, 1100, 600])
plot(x, w, 'red', 'LineWidth', 3)
hold on
plot(x, m, 'blue', 'LineWidth', 3)
grid on
set(gca,'YDir','Reverse')
axis ([-5 5 -0.3 1.1])
xlabel('x [m]', 'fontsize',20)
ylabel('\eta(x), \mu(x) [-]','fontsize',20)
AX = legend('\eta (x) - relativní posunutí', '\mu (x) - relativní moment','Location','southeast');
LEG = findobj(AX,'type','text');
set(LEG,'FontSize',25)
set(gca,'fontsize',25)

Zdroje:


Napsat komentář