Při jízdě železničního vozidla v přímé koleji vykonává konické (kuželovité) dvojkolí nápravy příčný pohyb způsobený rozdílnými poloměry kol v kontaktních bodech s kolejnicí. To vede k periodickým pohybům dvojkolí, které teoreticky popsal Klingel v roce 1883, a proto je tato teorie známa jako Klingelův pohyb. Teorie popisuje dvojkolí jako dva komolé kužely souměrné podle jejich podstavy pohybující se po přímé koleji, viz obrázek 1.
Obrázek 1 zavádí následující parametry:
Dvojkolí se pohybuje po trajektorii definované výchylkou y vztaženou k ose x. Ke zjištění výchylky y v daném bodě x je nutné určit funkci výchylky.
Z obrázku 1 je možné sestavit 2 trojúhelníky: První trojúhelník vychází z trajektorie pohybu dvojkolí (Obrázek 2a), druhý z poloměrů kol v kontaktních bodech s kolejnicí (Obrázek 2b).
Z podobnosti trojúhelníků na obrázku 2a lze sestavit rovnici:
Z trojúhelníku na obrázku 2b lze sestavit následující rovnici:
Pro malé úhly lze zavést zjednodušení v podobě \gamma = tg \gamma. Rovnici 2 lze tedy zapsat jako
Dosazením rovnice 3 do rovnice 2 získáme
Analogicky vyjádříme r_l:
Dosazením rovnic 4 a 5 do rovnice 1 získáme rovnici
Po několika úpravách rovnice 6 můžeme vyjádřit R jako:
Křivost je převrácenou hodnotou poloměru, proto platí:
Křivost také určuje míru vychýlení křivky od tečny v daném bodě, a proto ji lze zapsat jako druhou derivaci výchylky y:
Kombinací rovnice 8 a 9 získáme diferenciální rovnici
Rovnici 10 řešíme obdobně jako v článcích o modelování kolejového roštu (například Timošenkův model koleje). Substitucí y = e^{\lambda x}, její dvojitou derivací a dosazením do rovnice 10 získáme charakteristickou rovnici:
Nyní se snažíme určit kořeny \lambda. Rovnici 11 vydělíme e^{\lambda x} a získáme:
Z rovnice 12 získáme kořeny
Pro další výpočty využijeme kladný kořen (rovnice 13) a zavedeme substituci
Výše uvedenou rovnici y = e^{\lambda x} můžeme též zapsat jako y = e^{iax}. Z Eulerovy rovnice e^{i \phi}= cos \phi + isin\phi můžeme vyjádřit obecné řešení diferenciální rovnice:
Příčný pohyb dvojkolí lze vyjádřit jako harmonickou netlumenou funkci. Můžeme si jej tedy představit jako funkci sinus, viz obrázek 3.
Z průběhu funkce sinus můžeme určit okrajové podmínky pro body 0, L a L/4:
kde
Dosazením první okrajové podmínky (rovnice 18) do obecného řešení (rovnice 16) získáme:
Víme, že \sin{(0)}=0 a \cos{(0)}=1. Jediný způsob jak dostát podmínce y(0)=0 je postavit konstantu A=0. Pokračujeme dosazením druhé okrajové podmínky (rovnice 19). Zároveň za konstantu A dosadíme 0. Získáme:
K tomu, aby rovnice 22 mohla být rovna 0, musí být \sin{(a \cdot L)}=0 nebo C=0. Jelikož C=0 by nevedlo k řešení, budeme se zabývat případem \sin{(a \cdot L)}=0. Víme, že funkce sinus je rovna 0 v pravidelných periodách. Tyto periody lze charakterizovat jako celočíselné násobky čísla \pi, tedy k \cdot \pi, kde k \in \N. Jelikož je naše okrajová podmínka definována v L, budeme brát v úvahu nejnižší sudý násobek \pi, tedy 2 \cdot \pi. Aby a \cdot L = 2 \cdot \pi, musí platit:
Tímto jsme aplikovali druhou okrajovou podmínku. Poslední okrajovou podmínku (rovnice 20) aplikujeme následovně:
Jelikož \sin{(\pi / 2)} = 1, můžeme zapsat:
Výsledkem zavedení okrajových podmínek do rovnice 16 je rovnice pro výchylku y v bodě x:
Kombinací rovnic 15 a 23 můžeme vyjádřit rovnici pro délku vlny L_k:
Tímto jsme teoreticky vyřešili pohyb dvojkolí pro přímé koleji. Nutno říci, že do trajektorie pohybu dvojkolí v reálných podmínkách vstupuje řada externalit, které nejsou v této teorii zohledněny. Příkladem může být změna ojetí po délce kolejnic.
O tom, že k oscilačnímu pohybu dvojkolí skutečně dochází se můžete přesvědčit v následujícím videu:
Zdroje:
Napsat komentář