Příčný pohyb dvojkolí v přímé

Odvození rovnice pohybu dvojkolí – Klingelův pohyb

Autor , 02. srpna, Teorie

Při jízdě železničního vozidla v přímé koleji vykonává konické (kuželovité) dvojkolí nápravy příčný pohyb způsobený rozdílnými poloměry kol v kontaktních bodech s kolejnicí. To vede k periodickým pohybům dvojkolí, které teoreticky popsal Klingel v roce 1883, a proto je tato teorie známa jako Klingelův pohyb. Teorie popisuje dvojkolí jako dva komolé kužely souměrné podle jejich podstavy pohybující se po přímé koleji, viz obrázek 1.

Obrázek 1 – Dvojkolí v obecné poloze [1]

Obrázek 1 zavádí následující parametry:

Dvojkolí se pohybuje po trajektorii definované výchylkou y vztaženou k ose x. Ke zjištění výchylky y v daném bodě x je nutné určit funkci výchylky.

obrázku 1 je možné sestavit 2 trojúhelníky: První trojúhelník vychází z trajektorie pohybu dvojkolí (Obrázek 2a), druhý z poloměrů kol v kontaktních bodech s kolejnicí (Obrázek 2b).

Obrázky 2a, 2b – Trojúhelníky vycházející z obrázku 1, pomocí kterých odvodíme rovnici pohybu dvojkolí

Z podobnosti trojúhelníků na obrázku 2a lze sestavit rovnici:

\frac{r_p}{R + \frac{s}{2}} = \frac{r_l}{R - \frac{s}{2}} \; \; \; \; \; \; (1)

Z trojúhelníku na obrázku 2b lze sestavit následující rovnici:

\frac{r}{x} = \tg{\gamma} \Rightarrow x = \frac{r}{\tg{\gamma}} \; \; \; \; \; \; (2)

Pro malé úhly lze zavést zjednodušení v podobě \gamma = tg \gamma. Rovnici 2 lze tedy zapsat jako

x = \frac{r}{\gamma} \; \; \; \; \; \; (3)

Dosazením rovnice 3 do rovnice 2 získáme

\frac{r}{\frac{r}{\gamma}} = \frac{r_p}{y + \frac{r}{\gamma}} \Rightarrow \gamma = \frac{r_p}{y + \frac{r}{\gamma}} \Rightarrow r_p = r + \gamma \cdot y \; \; \; \; \; \; (4)

Analogicky vyjádříme r_l:

r_l = r - \gamma \cdot y \; \; \; \; \; \; (5)

Dosazením rovnic 4 a 5 do rovnice 1 získáme rovnici

\frac{r - \gamma \cdot y}{R - \frac{s}{2}} = \frac{r + \gamma \cdot y}{R + \frac{s}{2}} \; \; \; \; \; \; (6)

Po několika úpravách rovnice 6 můžeme vyjádřit R jako:

R = \frac{r \cdot s}{2 \cdot \gamma \cdot y} \; \; \; \; \; \; (7)

Křivost je převrácenou hodnotou poloměru, proto platí:

K = \frac{1}{R} = \frac{2 \cdot \gamma \cdot y}{r \cdot s} \; \; \; \; \; \; (8)

Křivost také určuje míru vychýlení křivky od tečny v daném bodě, a proto ji lze zapsat jako druhou derivaci výchylky y:

K = -\frac{d^2 y}{dx^2} \; \; \; \; \; \; (9)

Kombinací rovnice 89 získáme diferenciální rovnici

\frac{d^2 y}{dx^2}+2\frac{\gamma \cdot y}{r \cdot s} = 0 \; \; \; \; \; \; (10)

Rovnici 10 řešíme obdobně jako v článcích o modelování kolejového roštu (například Timošenkův model koleje). Substitucí y = e^{\lambda x}, její dvojitou derivací a dosazením do rovnice 10 získáme charakteristickou rovnici:

\lambda^2 \cdot e^{\lambda x} + 2 \frac{e^{\lambda x} \cdot \gamma}{r \cdot s} = 0 \; \; \; \; \; \; (11)

Nyní se snažíme určit kořeny \lambda. Rovnici 11 vydělíme e^{\lambda x} a získáme:

\lambda^2 = - 2 \frac{\gamma}{r \cdot s} \; \; \; \; \; \; (12)

Z rovnice 12 získáme kořeny

\lambda_1 = i \sqrt{2 \frac{\gamma}{r \cdot s}} \; \; \; \; \; \; (13)
\lambda_2 = -i \sqrt{2 \frac{\gamma}{r \cdot s}} \; \; \; \; \; \; (14)

Pro další výpočty využijeme kladný kořen (rovnice 13) a zavedeme substituci

a = \sqrt{2 \frac{\gamma}{r \cdot s}} \; \; \; \; \; \; (15)

Výše uvedenou rovnici y = e^{\lambda x} můžeme též zapsat jako y = e^{iax}. Z Eulerovy rovnice e^{i \phi}= cos \phi + isin\phi můžeme vyjádřit obecné řešení diferenciální rovnice:

y(x) = A \cdot \cos{(a \cdot x)} + C \cdot \sin{(a \cdot x)}, \; \; \; \; \; \; (16)
kde
C = B \cdot i\; \; \; \; \; \; (17)

Příčný pohyb dvojkolí lze vyjádřit jako harmonickou netlumenou funkci. Můžeme si jej tedy představit jako funkci sinus, viz obrázek 3.

Obrázek 3 – Příčný pohyb dvojkolí

Z průběhu funkce sinus můžeme určit okrajové podmínky pro body 0, LL/4:

y(0) = 0, \; \; \; \; \; \; (18)
y(L) = 0, \; \; \; \; \; \; (19)
y(L/4) = y_0, \; \; \; \; \; \; (20)

kde

Dosazením první okrajové podmínky (rovnice 18) do obecného řešení (rovnice 16) získáme:

y(0) = A \cdot \cos{(a \cdot 0)} +C \cdot \sin{(a \cdot 0)} = 0 \; \; \; \; \; \; (21)

Víme, že \sin{(0)}=0 a \cos{(0)}=1. Jediný způsob jak dostát podmínce y(0)=0 je postavit konstantu A=0. Pokračujeme dosazením druhé okrajové podmínky (rovnice 19). Zároveň za konstantu A dosadíme 0. Získáme:

y(L) = C \cdot \sin{(a \cdot L)} = 0 \; \; \; \; \; \; (22)

K tomu, aby rovnice 22 mohla být rovna 0, musí být \sin{(a \cdot L)}=0 nebo C=0. Jelikož C=0 by nevedlo k řešení, budeme se zabývat případem \sin{(a \cdot L)}=0. Víme, že funkce sinus je rovna 0 v pravidelných periodách. Tyto periody lze charakterizovat jako celočíselné násobky čísla \pi, tedy k \cdot \pi, kde k \in \N. Jelikož je naše okrajová podmínka definována v L, budeme brát v úvahu nejnižší sudý násobek \pi, tedy 2 \cdot \pi. Aby a \cdot L = 2 \cdot \pi, musí platit:

a = \frac{2 \cdot \pi}{L} \; \; \; \; \; \; (23)

Tímto jsme aplikovali druhou okrajovou podmínku. Poslední okrajovou podmínku (rovnice 20) aplikujeme následovně:

y(L/4) = C \cdot \sin{(\frac{2 \cdot \pi}{L} \cdot \frac{L}{4})} = y_0 \; \; \; \; \; \; (24)

Jelikož \sin{(\pi / 2)} = 1, můžeme zapsat:

C = y_0 \; \; \; \; \; \; (25)

Výsledkem zavedení okrajových podmínek do rovnice 16 je rovnice pro výchylku y v bodě x:

y(x) = y_0 \cdot \sin{(2 \cdot \pi \frac{x}{L})}, \; \; \; \; \; \; (26)

Kombinací rovnic 15 a 23 můžeme vyjádřit rovnici pro délku vlny L_k:

\frac{2 \cdot \pi}{L_k} = \sqrt{\frac{2 \cdot \gamma}{r \cdot s}} \Rightarrow L_k = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{r \cdot s}{2 \cdot \gamma}} \; \; \; \; \; \; (27)

Tímto jsme teoreticky vyřešili pohyb dvojkolí pro přímé koleji. Nutno říci, že do trajektorie pohybu dvojkolí v reálných podmínkách vstupuje řada externalit, které nejsou v této teorii zohledněny. Příkladem může být změna ojetí po délce kolejnic.

O tom, že k oscilačnímu pohybu dvojkolí skutečně dochází se můžete přesvědčit v následujícím videu:

Video 1 – Pohyb dvojkolí v přímé [2]

Zdroje:


Napsat komentář