Model stykované koleje

Statický model popisující chování stykované koleje při zatížení kolovou silou

Autor , 10. dubna, Teorie

V článku Timošenkův model koleje jsme si ukázali, jakým způsobem lze analyticky řešit nekonečně dlouhý nosník na pružném podkladu. Řešený nosník byl po celé délce průběžný, a proto by se dal interpretovat jako bezstyková kolej.

V tomto článku si ukážeme, jakým způsobem je nekonečně dlouhý nosník na pružném podkladu řešen v případě, kdy není v celé délce průběžný. Na železnici se s tímto případem lze setkat u stykované koleje, kdy jsou jednotlivé kolejnicové pásy spojeny spojkami. Mezi pásy vzniká dilatační spára (styk), viz obrázek 1. Budeme předpokládat, že kolo železničního vozidla se nachází přesně ve styku kolejnicových pásů.

Obrázek 1 – Vnější vztahy modelu stykované koleje

Předpokládejme také platnost Winklerovy hypotézy, viz již zmíněný článek. Diferenciální rovnice pro ohybovou křivku (1) a její obecné řešení (2) vypadají  následovně:

EI\frac{d^{4}w}{dx^{4}}=-kw+q, \; \; \; \; \; \; (1)
w(x)=e^{\lambda x}[B_{1}cos(\lambda x)+B_{2}sin(\lambda x)]+e^{-\lambda x}[ B_{3}cos(\lambda x)+B_{4}sin(\lambda x)]. \; \; \; \; \; \; (2)

Rozdíl nastává v okamžiku, kdy dochází k aplikaci okrajových podmínek. Jelikož ohybový moment (druhá derivace průhybu) v kloubu je roven 0, zavádíme místo podmínky w'(0)=0 podmínku w''(0)=0. Okrajové podmínky tedy můžeme zapsat jako:

{w(\infty)=0},

{w''(0)=0},

{w'''(0)=Q/(2EI)}.\; \; \; \; \; \; (3)

Derivací rovnice (2) a dosazením všech okrajových podmínek získáme hodnoty integračních konstant:

B_{1}=B_{2}=B_{3}=0,
B_{4} = \frac{Q}{4EI\lambda^{3}}.\; \; \; \; \; \; (4)

Dosazením integračních konstant do rovnice (2) získáme rovnici:

w(x)=e^{-\lambda x}\frac{Q}{4EI\lambda^3}cos(\lambda x), \; \; \; \; \; \; (5)
kde
\lambda=\frac{1}{L}\Rightarrow L=\sqrt[4]{\frac{4EI}{k}}.\; \; \; \; \; \; (6)

Veličina L [m] je charakteristická délka kolejového roštu. Svislé posunutí nosníku v bodě x můžeme vyjádřit takto:

w(x)=e^{-\frac{x}{L}}\frac{QL^{3}}{4EI}cos(\frac{x}{L}). \; \; \; \; \; \; (7)

Dvojitou derivací rovnice (17) získáme rovnici pro ohybový moment v bodě x ve tvaru:

M(x)=e^{-\frac{x}{L}}\frac{QL}{2EI}sin(\frac{x}{L}).\; \; \; \; \; \; (8)

Relativní posunutí \eta (x) a relativní moment \mu (x) vyjádříme jako:

\eta (x)=e^{-\frac{x}{L}}cos(\frac{x}{L}), \; \; \; \; \; \; (9)
\mu (x)=e^{\frac{x}{L}}sin(\frac{x}{L}).\; \; \; \; \; \; (10)

Křivky relativního posunutí a relativního momentu zobrazuje obrázek 2.

Obrázek 2 – Relativní posunutí a relativní moment

Relativní moment v bodě x=0 je roven 0, lze tedy názorně vidět, jaký má na průběh momentové křivky vliv okrajová podmínka w''(0)=0. Jednoduchý skript pro výpočet relativního posunutí a relativního momentu může vypadat v prostředí Matlab následovně:

 

x = linspace(-5, 5, 5000); % vytvoreni osy x
L = 0.8; % charakteristicka delka
% vypocet relativniho pruhybu
w = exp(-abs(x)/L).*cos(abs(x)/L);
% vypocet relativniho momentu
m = exp(-abs(x)/L).*sin(abs(x)/L);

% vykresleni dat
figure('position', [0, 0, 1100, 600])
plot(x,w, 'red', 'LineWidth', 3)
hold on
plot(x,m, 'blue', 'LineWidth', 3)
grid on
set(gca,'YDir','Reverse')
axis ([-5 5 -0.5 1.1])
xlabel('x [m]', 'fontsize',20)
ylabel('\eta(x), \mu(x) [-]','fontsize',20)
AX = legend('\eta (x) - relativní posunutí', '\mu (x) - relativní moment','Location','southeast');
LEG = findobj(AX,'type','text');
set(LEG,'FontSize',25)
set(gca,'fontsize',25)

Zdroje:


Napsat komentář