Model dle Frýby

Model popisující chování kolejového roštu při zatížení pohyblivou silou

Autor , 19. dubna, Teorie

V minulých dvou článcích (“Timošenkův model koleje” a “Model stykované koleje“) jsme se seznámili s modelováním statických případů nosníku na pružném podkladu, kdy byl nosník zatížen nehybnou silou vnášenou do soustavy nápravou železničního vozidla. Primárním účelem železnice je však přeprava osob a zboží, tudíž se nelze divit tomu, že se po ní vlaky pohybují. Tento pohyb je doprovázen vznikem dynamických účinků, které při interakci vozidla a jízdní dráhy způsobují mimo jiné svislé posunutí kolejového roštu. Právě vlivu dynamických účinků na posunutí kolejového roštu se budeme věnovat v tomto článku.

Budeme vycházet z Timošenkova modelu koleje, který později Frýba rozšířil o vliv dynamických účinků. Pojďme si tedy sestavit diferenciální rovnici. Schéma infinitezimálního elementu zobrazuje obrázek 1.

Obrázek 1 – Schéma elementu modelu dle Frýby

Z podmínky rovnováhy sil na elementu získáme rovnici

\frac{dD}{dx}dx=(m\frac{d^2 w}{dt^2}+c\frac{dw}{dt}+kw)dx. \; \; \; \; \; \; (1)

Dále využijeme již známé rovnice

Ddx=\frac{dM}{dx}dx, \; \; \; \; \; \; (2)
M=-EI\frac{d^2 w}{dx^2}. \; \; \; \; \; \; (3)

Dosazením rovnic (2) a (3) do rovnice (1) získáme:

EI\frac{d^4 w(x,t)}{dx^4}+m\frac{d^2 w(x,t)}{dt^2}+c\frac{dw(x,t)}{dt}+kw(x,t)=0. \; \; \; \; \; \; (4)

Rovnice (4) obsahuje dvě nezávislé proměnné (x a t), a proto zavedeme zjednodušení ve formě relativní souřadnice s:

s=\lambda (x-vt), \; \; \; \; \; \; (5)

kde

\lambda =(\frac{k}{4EI})^\frac{1}{4}=\frac{1}{L} \; \; \; \; \; \; (6)

Po substituci:

\frac{dw}{dx}=\lambda \frac{dw}{ds}\; a \;\frac{dw}{dt}=-\lambda v\frac{dw}{ds}, \; \; \; \; \; \; (6)

získáme diferenciální rovnici ve tvaru:

EI\lambda^4 \frac{d^4 w(s)}{ds^4}+m\lambda^2 v^2\frac{d^2 w(s)}{s^2}+c\lambda v\frac{dw(s)}{ds}+kw(s)=0. \; \; \; \; \; \; (7)

Následuje úprava rovnice:

\frac{d^4 w(s)}{ds^4}+\frac{m\lambda^2 v^2}{EI\lambda^4} \frac{d^2 w(s)}{s^2}+\frac{c\lambda v}{EI\lambda^4} \frac{dw(s)}{ds}+4\frac{k}{4EI\lambda^4}kw(s)=0,
\frac{d^4 w(s)}{ds^4}+4\alpha^2 \frac{d^2 w(s)}{s^2}+8\alpha \beta{EI\lambda^4} \frac{dw(s)}{ds}+4w(s)=0, \; \; \; \; \; \; (8)

kde

\alpha=\frac{v}{2\lambda}(\frac{m}{EI})^\frac{1}{2}, \; \; \; \; \; \; (9)
\beta=\frac{c}{2m}(\frac{m}{k})^\frac{1}{2}, \; \; \; \; \; \; (10)
\alpha = poměr mezi aktuální a kritickou rychlostí,
\beta = poměr mezi aktuálním a kritickým tlumením.

Dále hledáme řešení ve tvaru w=e^{\gamma s}:

\gamma^4+4\alpha^2 \gamma^2 - 8\alpha \beta \gamma + 4=0. \; \; \; \; \; \; (10)

Obecný tvar diferenciální rovnice můžeme zapsat následovně:

w(s)=A_{1}e^{\gamma_{1}s}+A_{2}e^{\gamma_{2}s}+A_{3}e^{\gamma_{3}s}+A_{4}e^{\gamma_{4}s}. \; \; \; \; \; \; (11)

Vzhledem k nesymetričnosti úlohy je nutné rovnici řešit na dvou samostatných intervalech, a to s \in (-\infty ;0) a s \in [0; \infty) . Aplikací podmínky w(\pm \infty) získáme tvary obecné rovnice pro oba intervaly:

s \geq 0: \; w=A_{1}e^{\gamma_{1}s}+A_{2}e^{\gamma_{2}s}\;(\gamma_{1}\; a \;\gamma_{2}\; jsou kořeny se zápornou reálnou části),\; \; \; \; \; \; (12)
s \lt 0: \; w=A_{3}e^{\gamma_{3}s}+A_{4}e^{\gamma_{4}s}\;(\gamma_{3}\; a \;\gamma_{4}\; jsou kořeny se zápornou reálnou části),\; \; \; \; \; \; (13)

Okrajové podmínky v bodě s=0 vychází ze spojitosti průhybové křivky.Tyto podmínky lze zapsat následovně:

w_l=w_r\Rightarrow A_3+A_4=A_1+A_2,
\frac{dw_l}{ds}=\frac{dw_r}{ds}\Rightarrow A_3\gamma_3+A_4\gamma_4=A_1\gamma_1+A_2\gamma_2,
M_l=M_r\Rightarrow A_3\gamma_3^2+A_4\gamma_4^2=A_1\gamma_1^2+A_2\gamma_2^2,
D_l=D_r+Q\Rightarrow A_3\gamma_3^3+A_4\gamma_4^3=A_1\gamma_1^3+A_2\gamma_2^3 \frac{Q}{EI\lambda^3}.\; \; \; \; \; \; (14)

Maticový zápis podmínek vypadá následovně:

\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\ \gamma_1 & \gamma_2 & -\gamma_3 & -\gamma_4 \\ \gamma_1^2 & \gamma_2^2 & -\gamma_3^2 & -\gamma_4^2 \\ \gamma_1^3 & \gamma_2^3 & -\gamma_3^3 & -\gamma_4^3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4\end{bmatrix}=w_0\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 8\end{bmatrix}, \; \; \; \; \; \; (15)

kde

w_0=\frac{Q}{8EI\lambda^3}. \; \; \; \; \; \; (16)

Vzniklé rovnice je vhodné řešit některým z výpočetních softwarů. Například softwarem Matlab. V případě kvalitativní analýzy lze rovnici (4) zjednodušit pomocí substituce na rovnici (8). Tato rovnice nekalkuluje přímo s parametry kolejového roštu (EI, k, c, m), ale pouze s parametry \alpha\beta. Tento přístup umožňuje zkoumání vlivu rychlosti a tlumení na soustavě. Zajímavým faktem je, že při postavení parametru \alpha=0 dochází k eliminaci dynamických vlivů a dostáváme se na statický Timošenkův model. Grafická interpretace modelu s parametry \alpha=0,85\beta=0,40 je zobrazena na obrázku 2.

Obrázek 2 – Relativní posunutí
Experimenty s parametry

Nyní zkusme aplikovat různé hodnoty parametrů \alpha a \beta a sledujme, jak se mění odezva dynamického modelu. Z výše uvedeného popisu parametrů víme, že \alpha je poměr mezi aktuální a kritickou rychlostí. Kritická rychlost je taková rychlost pohybujícího se železničního vozidla, při které dochází k dramatickému nárustu posunutí konstrukce kolejové jízdní dráhy (více o kritické rychlosti zde). Takové rychlosti odpovídá hodnota parametru \alpha=1,00. V netlumené soustavě dochází při této hodnotě k rezonanci.

Tlumení nás dostává k dalšímu parametru, a to \beta. Vliv různůch hodnot parametru \beta na soustavu lze popsat následovně:

Je-li soustava kriticky tlumená, dochází k jejímu ustálení v nejkratším možném čase. Vliv parametrů \alpha\beta, lze pozorovat na obrázku 3.

Obrázek 3 – Různé kombinace parametrů a jejich odezva

Zdroje:


Napsat komentář

Komentáře uživatelů