V minulých dvou článcích (“Timošenkův model koleje” a “Model stykované koleje“) jsme se seznámili s modelováním statických případů nosníku na pružném podkladu, kdy byl nosník zatížen nehybnou silou vnášenou do soustavy nápravou železničního vozidla. Primárním účelem železnice je však přeprava osob a zboží, tudíž se nelze divit tomu, že se po ní vlaky pohybují. Tento pohyb je doprovázen vznikem dynamických účinků, které při interakci vozidla a jízdní dráhy způsobují mimo jiné svislé posunutí kolejového roštu. Právě vlivu dynamických účinků na posunutí kolejového roštu se budeme věnovat v tomto článku.
Budeme vycházet z Timošenkova modelu koleje, který později Frýba rozšířil o vliv dynamických účinků. Pojďme si tedy sestavit diferenciální rovnici. Schéma infinitezimálního elementu zobrazuje obrázek 1.
Z podmínky rovnováhy sil na elementu získáme rovnici
Dále využijeme již známé rovnice
Dosazením rovnic (2) a (3) do rovnice (1) získáme:
Rovnice (4) obsahuje dvě nezávislé proměnné (x a t), a proto zavedeme zjednodušení ve formě relativní souřadnice s:
kde
Po substituci:
získáme diferenciální rovnici ve tvaru:
Následuje úprava rovnice:
kde
Dále hledáme řešení ve tvaru w=e^{\gamma s}:
Obecný tvar diferenciální rovnice můžeme zapsat následovně:
Vzhledem k nesymetričnosti úlohy je nutné rovnici řešit na dvou samostatných intervalech, a to s \in (-\infty ;0) a s \in [0; \infty) . Aplikací podmínky w(\pm \infty) získáme tvary obecné rovnice pro oba intervaly:
Okrajové podmínky v bodě s=0 vychází ze spojitosti průhybové křivky.Tyto podmínky lze zapsat následovně:
Maticový zápis podmínek vypadá následovně:
kde
Vzniklé rovnice je vhodné řešit některým z výpočetních softwarů. Například softwarem Matlab. V případě kvalitativní analýzy lze rovnici (4) zjednodušit pomocí substituce na rovnici (8). Tato rovnice nekalkuluje přímo s parametry kolejového roštu (EI, k, c, m), ale pouze s parametry \alpha a \beta. Tento přístup umožňuje zkoumání vlivu rychlosti a tlumení na soustavě. Zajímavým faktem je, že při postavení parametru \alpha=0 dochází k eliminaci dynamických vlivů a dostáváme se na statický Timošenkův model. Grafická interpretace modelu s parametry \alpha=0,85 a \beta=0,40 je zobrazena na obrázku 2.
Nyní zkusme aplikovat různé hodnoty parametrů \alpha a \beta a sledujme, jak se mění odezva dynamického modelu. Z výše uvedeného popisu parametrů víme, že \alpha je poměr mezi aktuální a kritickou rychlostí. Kritická rychlost je taková rychlost pohybujícího se železničního vozidla, při které dochází k dramatickému nárustu posunutí konstrukce kolejové jízdní dráhy (více o kritické rychlosti zde). Takové rychlosti odpovídá hodnota parametru \alpha=1,00. V netlumené soustavě dochází při této hodnotě k rezonanci.
Tlumení nás dostává k dalšímu parametru, a to \beta. Vliv různůch hodnot parametru \beta na soustavu lze popsat následovně:
Je-li soustava kriticky tlumená, dochází k jejímu ustálení v nejkratším možném čase. Vliv parametrů \alpha a \beta, lze pozorovat na obrázku 3.
Zdroje:
Dobry den,
clanek se mi velmi libil, je bych Vas rada upozornila na drobnou chybu v textu. V prvni vete mate napsano “nosiku”, misto “nosniku”. Myslim vsak, ze je to chyba krasna.
Dobrý den, děkuji za zpětnou vazbu. 🙂 Chyba opravena.